题目内容

已知函数y=f（x）= $数学公式$ （a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上为减函数．

（1）解：因为f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，化简得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以 $\text{[math]}$ ②，
将①代入②并整理得 $\text{[math]}$ ，解得0＜b＜ $\text{[math]}$ ，
因为b∈z，所以b=1，从而a=1，
所以f（x）= $\text{[math]}$ ；
（2）证明：由（1）得f（x）= $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ ，
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为0＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1， $\text{[math]}$ ＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上为减函数．
分析：（1）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x），根据该恒等式可求得c，由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范围，又b∈Z可求b值，进而得a；
（2）定义法，设0＜x₁＜x₂＜1，只需通过作差证明f（x₁）＞f（x₂）；
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决问题的基础..