题目内容
2.已知各项都是正数的数列{an}满足a1=$\frac{3}{2}$,an+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$(4-an),则数列{an}的通项公式是an=2-${2}^{1-{2}^{n}}$.分析 依题意,可得$\frac{{({a}_{n}-2)}^{2}}{2}$=2-an+1≥0,进一步分析可得an<2,再对$\frac{{({a}_{n}-2)}^{2}}{2}$=2-an+1两边取对数,利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可求得答案.
解答 解:因为an+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$(4-an)=-$\frac{({a}_{n}-2)^{2}}{2}$+2,
所以$\frac{{({a}_{n}-2)}^{2}}{2}$=2-an+1≥0,即an+1≤2,
若an+1=2,即$\frac{1}{2}{a}_{n}$(4-an)=2,故an=2,这与a1=$\frac{3}{2}$矛盾,
所以,an+1<2,即an<2,
所以对$\frac{{({a}_{n}-2)}^{2}}{2}$=2-an+1两边取对数,得lg(2-an+1)=2lg(2-an)-lg2,
变形得:lg(2-an+1)-lg2=2[lg(2-an)-lg2],
∴lg(2-an)-lg2=2n-1•(-2lg2)=-2n•lg2=lg${2}^{-{2}^{n}}$,
解得:an=2-${2}^{1-{2}^{n}}$.
故答案为:an=2-${2}^{1-{2}^{n}}$.
点评 本题考查数列递推关系式的应用,分析得到an<2,且对$\frac{{({a}_{n}-2)}^{2}}{2}$=2-an+1两边取对数是关键,也是难点,考查等价转化思想与推理运算能力,属于难题.
练习册系列答案
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A. | 1006 | B. | 1007 | C. | 1008 | D. | 1009 |