题目内容
14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N*），则a1a2a3…a2012的值为（ ）| A． | 2 | B． | -3 | C． | $-\frac{1}{2}$ | D． | 1 |
分析 通过计算，找出该数列的周期，进而计算可得结论．
解答 解：∵a1=2，an+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N*），
∴a2=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a3=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，
a4=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a5=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
…
由此可得规律：从第1项开始，按2，-3，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$循环，每4个循环一次，
∵2012=503×4，
∴a1a2a3…a2012=[2×（-3）×（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$]503=1，
故选：D．
点评 本题考查数列的周期性，注意解题方法的积累，属于中档题．
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