Question

（2013•惠州一模）如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求四面体B-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点P，连接EP、FP，△BCD中利用中位线定理，证出PF∥DC且PF=

1

2

DC，结合题意EA∥DC且EA=

1

2

DC，可得PF与EA平行且相等，从而得到四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP，再由线面平行判定定理可得AF∥平面BDE；
（2）由面面垂直的性质定理，证出BA⊥面ACDE，得BA就是四面体B-CDE的高．根据直角梯形ACDE的上下底边长和直角腰长，算出△CDE的面积为S_△CDE=S_梯形ACDE-S_△ACE=2，最后利用锥体的体积公式即可算出四面体B-CDE的体积．

解答：解：（1）取BD的中点P，连接EP、FP，…（1分）
∵△BCD中，PF为中位线，
∴PF∥DC且PF=

1

2

DC，
又∵AE∥CD，DC=2AE2
∴EA∥DC且EA=

1

2

DC，
由此可得PF∥EA，且PF=EA…（3分）
∴四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP…（5分）
∵EP?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE…（7分）
（2）∵BA⊥AC，面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC
∴BA⊥面ACDE，即BA就是四面体B-CDE的高，BA=2…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD
∴S梯形ACDE=

1

2

(1+2)×2=3，S△ACE=

1

2

×1×2=1
因此，△CDE的面积为S_△CDE=3-1=2…（12分）
∴四面体B-CDE的体积VB-CDE=

1

3

•BA•S△CDE=

1

3

×2×2=

4

3

．…（14分）

点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面平行并求四面体的体积．着重考查了三角形的中位线、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理和锥体体积的求法等知识，属于中档题．