题目内容

已知
a
=(cosα+sinα,cosα)
b
=(m,sinα)
,(α∈(
π
12
,π],m∈R

(1)求函数f(α)=
a
b
解析式
(2)求函数y=f(α)的最小值.
分析:(1)根据向量的数量积,直接得到函数解析式.
(2)利用换元法t=sinα+cosα化简函数的表达式,结合α∈(
π
12
,π],m∈R
推出元的范围,利用二次函数在闭区间的最值的求法,分类讨论m的值,求出函数的最小值.
解答:解:(1)f(α)=
a
b
=m(cosα+sinα)+sinαcosα
α∈(
π
12
,π]
(5分)
(2)因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,令t=sinα+cosα,
sinαcosα=
t2-1
2
,所以f(α)=
1
2
t2+mt-
1
2
(6分)
t=sinα+cosα=
2
sin(α+
π
4
)

α∈(
π
12
,π]
(α+
π
4
)∈(
π
3
4
]

所以sin(α+
π
4
)∈[-
2
2
,1]

所以t=
2
sin(α+
π
4
)∈[-1,
2
]

y=g(t)=
1
2
t2+mt-
1
2
,  t∈[-1,
2
]
(8分)
二次函数对称轴为t=-m
当-m<-1,即m∈(1,+∞)时,函数y=g(t)在t∈[-1,
2
]
上单调递增,此时ymin=g(-1)=-m
当-1≤-m≤
2
,即-
2
≤m≤1时,ymin=g(-m)=-
m2+1
2

当-m>
2
,即m<-
2
时,函数y=g(t)在t∈[-1,
2
]
上单调递减,
此时ymin=g(
2
)=
1
2
+
m
m<-
2
m>1-
2
≤m≤1综上可知ymin=
-m
-
m2+1
2
1
2
+
m
(14分)
点评:本题是中档题,考查三角函数的解析式的求法,二次函数闭区间的最值求法,考查计算能力,换元法的方法,分类讨论思想的应用.
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