题目内容
已知
=(cosα+sinα,cosα),
=(m,sinα),(α∈(
,π],m∈R)
(1)求函数f(α)=
•
解析式
(2)求函数y=f(α)的最小值.
a |
b |
π |
12 |
(1)求函数f(α)=
a |
b |
(2)求函数y=f(α)的最小值.
分析:(1)根据向量的数量积,直接得到函数解析式.
(2)利用换元法t=sinα+cosα化简函数的表达式,结合α∈(
,π],m∈R推出元的范围,利用二次函数在闭区间的最值的求法,分类讨论m的值,求出函数的最小值.
(2)利用换元法t=sinα+cosα化简函数的表达式,结合α∈(
π |
12 |
解答:解:(1)f(α)=
•
=m(cosα+sinα)+sinαcosαα∈(
,π](5分)
(2)因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,令t=sinα+cosα,
则sinαcosα=
,所以f(α)=
t2+mt-
(6分)
而t=sinα+cosα=
sin(α+
),
由α∈(
,π]知(α+
)∈(
,
],
所以sin(α+
)∈[-
,1]
所以t=
sin(α+
)∈[-1,
]
令y=g(t)=
t2+mt-
, t∈[-1,
](8分)
二次函数对称轴为t=-m
当-m<-1,即m∈(1,+∞)时,函数y=g(t)在t∈[-1,
]上单调递增,此时ymin=g(-1)=-m
当-1≤-m≤
,即-
≤m≤1时,ymin=g(-m)=-
当-m>
,即m<-
时,函数y=g(t)在t∈[-1,
]上单调递减,
此时ymin=g(
)=
+
m<-
m>1-
≤m≤1综上可知ymin=
(14分)
a |
b |
π |
12 |
(2)因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,令t=sinα+cosα,
则sinαcosα=
t2-1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
而t=sinα+cosα=
2 |
π |
4 |
由α∈(
π |
12 |
π |
4 |
π |
3 |
5π |
4 |
所以sin(α+
π |
4 |
| ||
2 |
所以t=
2 |
π |
4 |
2 |
令y=g(t)=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
二次函数对称轴为t=-m
当-m<-1,即m∈(1,+∞)时,函数y=g(t)在t∈[-1,
2 |
当-1≤-m≤
2 |
2 |
m2+1 |
2 |
当-m>
2 |
2 |
2 |
此时ymin=g(
2 |
1 |
2 |
m |
2 |
2 |
|
点评:本题是中档题,考查三角函数的解析式的求法,二次函数闭区间的最值求法,考查计算能力,换元法的方法,分类讨论思想的应用.
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