已知中心在原点.焦点在坐标轴上的椭圆.它的离心率为.一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线.切点分别是A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程,(Ⅱ)若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点,并出求定点的坐标.(Ⅲ)是否存在实数.使得恒成立?(点为直线恒过的定点)若存在.求出的值,若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（Ⅰ）（Ⅱ）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标切线方程分别为，。两切线均过点M，即即点A,B的坐标都适合方程故直线AB的方程是，直线AB恒过定点（Ⅲ）

解析试题分析：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，
所以所求的椭圆方程为      ……………3分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。则切线方程分别为，。又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。          ………………………………6分[
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即
所以…………………..8分
不妨设
，同理……10分
所以

即。
故存在实数，使得。  ……………………12分
考点：椭圆性质与方程，直线与椭圆相交的弦长
点评：直线与椭圆相交问题要充分利用韦达定理使其简化解题过程，圆锥曲线题目一直是学生得分较低的类型

练习册系列答案

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(本小题满分12分）
已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(I )求抛物线C的方程；
(II)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

如图，已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连结AD、BD得到．
（i）求实数a，b，k满足的等量关系；
（ii）的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

（本题满分12分）
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点(1，)，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线x＋y＋1＝0与椭圆E相交于A、B(B在A上方)两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D(C在D上方)两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）