Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{4{a}_{n}+4}{{a}_{n}+4}$．求证：数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$}为等比数列．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{4{a}_{n}+4}{{a}_{n}+4}$、化简可知$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=3•$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$}是以5为首项、3为公比的等比数列．

解答 证明：∵a_n+1=$\frac{4{a}_{n}+4}{{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{4{a}_{n}+4}{{a}_{n}+4}+2}{\frac{4{a}_{n}+4}{{a}_{n}+4}-2}$
=$\frac{4{a}_{n}+4+2{a}_{n}+8}{4{a}_{n}+4-2{a}_{n}-8}$
=$\frac{6{a}_{n}+12}{2{a}_{n}-4}$
=$\frac{6}{2}$•$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$
=3•$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}+2}{{a}_{1}-2}$=$\frac{3+2}{3-2}$=5，
∴数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$}是以5为首项、3为公比的等比数列．

点评 本题考查等比数列的判定，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．