Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，最小正周期为π，直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）化简可得解析式g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（x∈R，ω＞0，A＞0，0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，
∴A=2；
根据最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2；
再根据直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，
由0＜φ＜$\frac{π}{2}$，故可得：φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，考查了正弦函数的定义域和值域，属于基本知识的考查．