Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的方程为，在以原点为极点， 轴的非负关轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和倍后得到曲线，求曲线的参数方程；

（2）若分别为曲线与直线的两个动点，求的最小值以及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）点的直角坐标为时， 取得最小值.

【解析】试题分析：

(1)由题意可知曲线的直角坐标方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.

(2)利用题意得到关于的三角函数式，结合三角函数的性质可得点的直角坐标为时， 取得最小值.

试题解析：

（Ⅰ）在曲线上任取一点，设点的坐标为，则点在曲线上，满足，所以曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅱ）直线的直角坐标方程为： ，设点，点到直线的距离为，当，即点的直角坐标为时， 取得最小值.