题目内容

设函数f（x）=
a
•
b
，
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x）
（1）求f（x）最小值；
（2）若在△ABC中，满足f（A）=2，a=2，且acosB+bcosA=csinC，求S△ABC．
分析：（1）由题意结合数量积和三角函数的运算可得可得f（x）解析式，可得其最小值；（2）由（1）结合已知可得A值，再结合正弦定理可得sinC的式子，可得C值，再由三角形的内角和可得B，由a可得b，代入面积公式计算可得．
解答：解：（1）由题意可得f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=1+2sin（2x+
π
6
），
∴当sin（2x+
π
6
）=-1时，f（x）取最小值-1；
（2）由（1）知f（A）=1+2sin（2A+
π
6
）=2，
化简可得sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
∵0＜A＜π，
∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，
∴2A+
π
6
=
5π
6
，解得A=
π
3

又∵acosB+bcosA=csinC，结合正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，
由两角和的正弦公式可得sin（A+B）=sin2C，即sinC=sin2C，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，∴sinC=1，∴C=
π
2
，
∴B=
π
6
，在RT△ABC中，a=2，b=
2
3
3
，
∴S△ABC=
1
2
ab=
2
3
3
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及正弦定理的应用，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是
3
2
，最小值是-
1
2
，则A=
 
，B=
 
．
设函数f（x）=
a
•
b
其中向量
a
=（2cosx，1），b=(cosx，
3
sin2x+m)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
6
]时，f（x）的最大值为4，求m的值．
设函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点(
π
2
，1)，当x∈[0，
π
2
]时，|f（x）|＜2，则实数a的取值范围是（　　）
A、-
2
＜a≤1
B、1≤a＜4+3
2
C、-
2
＜a＜4+3
2
D、-a＜a＜2
设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=-
1
2
，且a=
3
，b+c=3，（b＞c），求b与c的值．
已知向量
a
=（sinωx+cosωx，sinωx）
b
=（sinωx-cosωx，2
3
cosωx），设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
3
对称，其中常数ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-
π
2
，
π
2
]的图象．

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