Question

【题目】将圆上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线，以坐标原点为极点， 轴的非负轴分别交于半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为： ，且直线在直角坐标系中与轴分别交于两点.

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）问在曲线上是否存在点，使得的面积，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）曲线的参数方程为，直线的普通方程为。（2）点的坐标为。

【解析】试题分析：（1）根据伸缩变换可以得到曲线为椭圆，故其参数方程为，对于极坐标方程，展开后利用可转化为普通方程.（2）利用椭圆的参数方程设出动点的坐标，根据三角形的面积为求出其到直线的距离为，也即是，从而求出，也就得到的坐标.

解析：（1）曲线 ，故曲线 的参数方程为 (为参数)

直线 的普通方程为： .

（2）设曲线 上点 ，点到直线的距离为，则，又 ，故 ，当 时取等号，即 ，此时 ，故在曲线上存在点，使得的面积，点的坐标为.