题目内容
【题目】如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC
BC,且AC=BC.
(1)求证：AM平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小，
(3)求二面角A-BE-C的大小.
【答案】（1）见解析（2）30°（3）60°
【解析】
(1)以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能证明
平面
(2)求出平面EBC的法向量，利用线面角公式求解(3)求平面EAB的法向量，根据向量法求出二面角A-BE-C的大小.
（1）如图所示：
建立空间直角坐标系A-xy，设
，
则
所以
∴
，
，∴
，
.
∴平面.
（2）∵平面，∴
为平面的一个法向量，
∵
，∴
，∴
，
∴直线
与平面所成的角的大小为30°.
（3）面
的法向量为
，面
的法向量为
，
∴
故二面角
的大小为60°
【题目】为了解人们对城市治安状况的满意度，某部门对城市部分居民的“安全感”进行调查，在调查过程中让每个居民客观地对自己目前生活城市的安全感进行评分，并把所得分作为“安全感指数”，即用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示安全感越高．现随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：
安全感指数 | [0，20） | [20，40） | [40，60） | [60，80） | [80，100] |
男居民人数 | 8 | 16 | 226 | 131 | 119 |
女居民人数 | 12 | 14 | 174 | 122 | 178 |
根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）估算该地区居民安全感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指数不小于60，则认为其安全感好．为了进一步了解居民的安全感，调查组又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．
