Question

【题目】设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）是的极大值点，是的极小值点．

【解析】

（1）根据切点是曲线与切线的公共点，可得，注意到直线y＝8的斜率为0，结合导数的几何意义可建立方程，联合成方程组，求解即可。

（2）首先求导函数f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，可以看到a的取值直接影响到导函数的符号，故需对a进行分类讨论，由于a≠0，所以分a<0和a>0两种情况讨论，得到单调区间，同时根据单调性判断并求出极值。

(1)f′(x)＝3x2－3a.

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以，即

解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.

当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．