Question

15．已知函数f（x）=|x-2|，若b≠0，且a，b∈R时，都有不等式|a+b|+|a-2b|≥|b|•f（x）成立，则实数x的取值范围是[-1，5]．

Answer 1

分析 先分离出含有a，b的式子，即$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥f（x）恒成立，问题转化为求左式的最小值，运用绝对值不等式的性质，即可得到．

解答 解：由题意，即$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥f（x）恒成立，
故f（x）小于 等于$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）的最小值．
∵$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥$\frac{1}{|b|}$（|a+b-a+2b|）=3，
当且仅当（a+b）（a-2b）≤0时取等号，
∴$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）的最小值等于3．
∴x的范围即为不等式|x-2|≤3的解．
解不等式得-1≤x≤5．
故答案为：[-1，5]．

点评 本题主要考查了不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式的性质，通常采用分离参数的方法解决，属于中档题．