题目内容

已知点F(0,1),直线l:y=-2.
(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1,求动点M的轨迹E的方程;
(2)过轨迹E上一点P作圆C:x2+(y-3)2=1的切线,切点分别为A、B,求四边形PACB的面积S的最小值和此时P的坐标.
分析:(1)直接代入距离公式来求动点M轨迹E的方程即可(注意讨论).
(2)先利用图象和已知条件把S转化为求|AP|问题,然后在△PAC中借助于点P在E上求出|AP|的最小值即可.
解答:解:(1):设动点M(x,y).
由题设条件可知
x2+(y-1)2
-|y+2|=-1
,即
x2+(y-1)2
=|y+2|-1

①当y+2≥0时,即y≥-2时,有
x2+(y-1)2
=(y+2)-1

两端平方并整理得 y=
1
4
x2

②当y+2<0即y<-2时有
x2+(y-1)2
=-(y+2)-1

两端平方并整理得 y=-
1
8
x2-1

∵x2>0∴y=-
1
8
x2-1
>-1
这与y<-2矛盾.
综合①②知轨迹E的方程为 y=
1
4
x2

(2)连PC,不难发现S=S△PAC+S△PBC=2S△PAC
∵CA⊥PA且|AC|=1∴S=2•
1
2
•|AP|•|AC|

即S=|AP||
设P(x0,y0)于是,|AP|2+|AC|2=|PC|2=x02+(y0-3)2
|AP|=
4y0+
y
2
0
-6y0+8
.又
x
2
0
=4y0

|AP|2=
4y0+
y
2
0
-6y0+8
=
(y 0-1)2+7
7

当且仅当y0=1时“=”成立,此时x0=±2
所以四边形PACB存在最小值,最小值是
7
,此时P点坐标是(±2,1)
点评:本题以轨迹方程为载体,考查到求动点M的轨迹E的方程问题.在做这一类型题时,关键是找到关于动点M的等式.
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