题目内容

已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,点P到点F的距离等于点P到直线l的距离.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,求|AB|.
分析:(1)用抛物线的定义,求出动点的轨迹方程.
(2)设圆M的圆心坐标,利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,满足勾股定理,以及圆心在轨迹C上,
求出弦长.
解答:解:(1)由题意知,点P的轨迹是顶点在原点,开口向上的抛物线,设其方程为x2=2py,
p
2
=1
,解出p=2.即x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程x2=4y.
(2)设圆M的圆心坐标为M(a,b),取AB的中点H.连接MH,BM.则a2=4b.
圆M的半径为|MD|=
a2+(b-2)2
,|MH|=b.
|AB|=2|BH|=2
|MB|2-|MH|2
=2
a2+(b-2)2-b2

=2
a2-4b+4
=2
4b-4b+4
=4
.  即|AB|=4.
点评:本题考查用定义法求动点的轨迹方程,直线和圆的位置关系,弦长公式的应用,属于中档题.
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