Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，点P到点F的距离等于点P到直线l的距离．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）用抛物线的定义，求出动点的轨迹方程．
（2）设圆M的圆心坐标，利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理，以及圆心在轨迹C上，
求出弦长．

解答：解：（1）由题意知，点P的轨迹是顶点在原点，开口向上的抛物线，设其方程为x²=2py，
由

p

2

=1，解出p=2．即x²=4y，所以动点P的轨迹C的方程x²=4y．
（2）设圆M的圆心坐标为M（a，b），取AB的中点H．连接MH，BM．则a²=4b．
圆M的半径为|MD|=

a2+(b-2)2

，|MH|=b．
|AB|=2|BH|=2

|MB|2-|MH|2

=2

a2+(b-2)2-b2

=2

a2-4b+4

=2

4b-4b+4

=4．  即|AB|=4．

点评：本题考查用定义法求动点的轨迹方程，直线和圆的位置关系，弦长公式的应用，属于中档题．