题目内容
（2013•石家庄二模）在平面直角坐标系中，已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面内动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且
•(
+
)=0．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）（m＞0）的直线AB与曲线E交于A、B两个不同点，设∠AFB=θ，若对于所有这样的直线AB，都有θ∈（
，π]．求m的取值范围．
| QF |
| QP |
| FP |
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）（m＞0）的直线AB与曲线E交于A、B两个不同点，设∠AFB=θ，若对于所有这样的直线AB，都有θ∈（
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）设出懂点P的坐标，由题意得到Q的坐标，写出向量
，
，
的坐标，代入
•(
+
)=0整理即可得到动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）把∠AFB=θ转化为两个向量
，
所成的角，由θ∈（
，π]得到两个向量的数量积小于0，代入坐标后整理得到m2-6m+1＜4k2，根据k是实数转化为关于m的不等式，从而求出m的取值范围．
| QF |
| QP |
| FP |
| QF |
| QP |
| FP |
（Ⅱ）把∠AFB=θ转化为两个向量
| FA |
| FB |
| π |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则Q（x，-1），又F（0，1）．
则
=(-x，2)，
=(0，y+1)，
=(x，y+1)．
由
•(
+
)=0．
得x2=4y．
∴动点P的轨迹曲线E的方程为x2=4y；
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由题意cosθ=
＜0，
即
•
＜0．又
=(x1，y1-1)，
=(x2，y2-1)
∴
•
=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1＜0．
由
消去y得x的方程x2-4kx-4m=0．
则x1+x2=4k，x1x2=-4m，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，y1y2=
(x1x2)2=m2，
∴
•
=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4m+m2-4k2-2m+1＜0
即m2-6m+1＜4k2对k∈R恒成立．∴m2-6m+1＜0．
解得3-2
＜m＜3+2
．
则
| QF |
| QP |
| FP |
由
| QF |
| QP |
| FP |
得x2=4y．
∴动点P的轨迹曲线E的方程为x2=4y；
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由题意cosθ=
| ||||
|
|
即
| FA |
| FB |
| FA |
| FB |
∴
| FA |
| FB |
由
|
则x1+x2=4k，x1x2=-4m，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，y1y2=
| 1 |
| 16 |
∴
| FA |
| FB |
即m2-6m+1＜4k2对k∈R恒成立．∴m2-6m+1＜0．
解得3-2
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法，解答的关键是由∠AFB为钝角转化为关于m的不等式，是有一定难度题目．
练习册系列答案
相关题目