题目内容
已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且| QP |
| QF |
| FP |
| FQ |
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
分析：（1）先设出点P的坐标，代入
•
=
•
整理即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1，|DB|=l2的表达式，代入
+
整理后利用基本不等式求最大值即可．
| QP |
| QF |
| FP |
| FQ |
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1，|DB|=l2的表达式，代入
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
解答：（1）解：设P（x，y），则Q（x，-1），
∵
•
=
•
，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x2-2（y-1），即x2=4y，
所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．
（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．①
圆M的半径为|MD|=
．
圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2．
令y=0，则（x-a）2+b2=a2+（b-2）2，
整理得，x2-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=
，l2=
．
∴
+
=
=
=2
=2
，③
当a≠0时，由③得，
+
=2
≤2
=2
．
当且仅当a=±2
时，等号成立．
当a=0时，由③得，
+
=2．
故当a=±2
时，
+
的最大值为2
．
∵
| QP |
| QF |
| FP |
| FQ |
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x2-2（y-1），即x2=4y，
所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．
（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．①
圆M的半径为|MD|=
| a2+(b-2)2 |
圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2．
令y=0，则（x-a）2+b2=a2+（b-2）2，
整理得，x2-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=
| (a-2)2+4 |
| (a+2)2+4 |
∴
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
| l12+l22 |
| l1l2 |
| 2a2+16 | ||
|
|
1+
|
当a≠0时，由③得，
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
1+
|
1+
|
| 2 |
当且仅当a=±2
| 2 |
当a=0时，由③得，
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
故当a=±2
| 2 |
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
| 2 |
点评：本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力
练习册系列答案
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