Question

已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2a_n-1+1可得a_n+1=2（a_n-1+1），从而可证数列{a_n+1}是以2为首项以2为公比的等比数列可求
（2）由（1）可得Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)，利用分组，结合等比数列的求和公式可求

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+1可得a_n+1=2（a_n-1+1），a₁+1=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴an+1=2n
∴an=2n-1
（2）由an=2n-1
∴Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n

点评：本题主要考查了构造等比数列求解通项，数列求和的分组求和及等比数列的求和公式的应用，属于数列知识的综合应用