Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是（-

2

，0），（

2

，0），则PC•PD的最大值为（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、3
• D、2

  2

  +2

Answer 1

分析：利用正方形的面积求出椭圆的焦距、长轴长；利用椭圆的大定义求出P到两焦点的距离，代入PC•PD转化成二次函数最值，利用二次函数求出最值．

解答：解：设左右焦点为F₁、F₂，上顶点为A，正方形边长=2，
∴|AF₁|=|AF₂|=2，|F₁F₂|=2

2

，
c=

2

，
则C、D是椭圆的左右焦点，C是F₁，D是F₂，
根据椭圆定义，|AF₁|+|AF₂|=2+2=4=2a，
a是长半轴长，
a=2，
|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|•（4-|PF₁|），
设|PF₁|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x²+4x═-（x-2）²+4
当x=2时．其乘积最大值为4．
当P在短轴顶点时，最大．

点评：本题考查椭圆的定义、等价转化的能力、二次函数最值的求法，考查运算能力，属中档题．