Question

3．设y=f（x），y=g（x）是定义在R上的两个函数，求证：
（1）△[f（x）±g（x）]=△f（x）±△g（x）；
（2）△[f（x）•g（x）]=g（x+△x）•△f（x）+f（x）•△g（x）．
说明：其中△f（x）表示函数f（x）的增量，即△f（x）=f（x+△x）-f（x）．

Answer 1

分析 按照增量的概念逐一计算，注意函数的对应关系是谁即可．

解答 解：（1）因为△f（x）=f（x+△x）-f（x）．
所以△[f（x）+g（x）]=[f（x+△x）+g（x+△x）]-[f（x）+g（x）]=[f（x+△x）-f（x）]+[g（x+△x）-g（x）]=△f（x）+△g（x）；
△[f（x）-g（x）]=[f（x+△x）-g（x+△x）]-[f（x）-g（x）]=[f（x+△x）-f（x）]-[g（x+△x）-g（x）]=△f（x）-△g（x）．
（2）由△f（x）=f（x+△x）-f（x）得：
△[f（x）•g（x）]=f（x+△x）•g（x+△x）-f（x）•g（x）=f（x+△x）•g（x+△x）-f（x+△x）g（x）+f（x+△x）g（x）-f（x）•g（x）
=f（x+△x）[g（x+△x）-g（x）]+[f（x+△x）-f（x）]g（x）
=f（x+△x）•△g（x）+g（x+△x）•△f（x）．

点评 本题主要是考查“增量”的概念，以及对函数概念的理解．抓住概念进行变形是解题的关键．