题目内容

9.设a0,a1,a2,…,an成等差数列,求证:a0+a1C${\;}_{n}^{1}$+a2C${\;}_{n}^{2}$+…+anC${\;}_{n}^{n}$=(a0+an)2n-1

分析 利用等差数列的性质,结合组合数的性质,即可证明结论.

解答 证明:∵a0,a1,a2,…,an成等差数列,
∴a0+an=a1+an-1=…=an+a0
∴a0+a1C${\;}_{n}^{1}$+a2C${\;}_{n}^{2}$+…+anC${\;}_{n}^{n}$+a0${C}_{n}^{n}$+a1${C}_{n}^{n-1}$+…+an${C}_{n}^{0}$=(a0+an)(${C}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$)=(a0+an)2n
∴a0+a1C${\;}_{n}^{1}$+a2C${\;}_{n}^{2}$+…+anC${\;}_{n}^{n}$=(a0+an)2n-1

点评 本题考查等差数列的性质、组合数的性质,比较基础.

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