题目内容
(本小题满分12分)已知函数,。
(1)求的单调区间;
(2)求证:当时,;
(3)求证:恒成立。
(1)求的单调区间;
(2)求证:当时,;
(3)求证:恒成立。
(1)增区间为,减区间为。
(2)略
(3)略
(2)略
(3)略
解:(1),,
,
令,得:,则在上单调递减;
令,得:,则在上单调递增。
故增区间为,减区间为。
(2)由(1)知,则当时恒成立。
,,
则、在上均单调递增。
易知:,,
则,
即:。
(3),
令,
则,
令,
则,
令,
则。
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减,
故,即,
则在上单调递减。
当时,,即,则在上单调递增;
当时,,即,则在上单调递减,
故,
即。
,
令,得:,则在上单调递减;
令,得:,则在上单调递增。
故增区间为,减区间为。
(2)由(1)知,则当时恒成立。
,,
则、在上均单调递增。
易知:,,
则,
即:。
(3),
令,
则,
令,
则,
令,
则。
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减,
故,即,
则在上单调递减。
当时,,即,则在上单调递增;
当时,,即,则在上单调递减,
故,
即。
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