Question

5．已知椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶点P（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆O的方程；
（2）设A、B、M是椭圆上的三点，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，点N为线段AB的中点，C、D两点的坐标分别为（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），求证：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶点P（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，b后可得椭圆的方程；
（2）设出A，B的坐标，由$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$得到M的坐标，把M的坐标代入椭圆方程得到$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂）²+（$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂）²=1，再由A，B在椭圆上整理可得点N在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}=1$上，且C，D为该椭圆的两个焦点坐标，则答案可求．

解答 （1）解：∵椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶点P（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆Q的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$ ①，
由$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，得M（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂，$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂），
又点M在椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上，
则有$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂）²+（$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂）²=1②，
综合①、②得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂=0．
又线段AB的中点为N（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
且$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂）=$\frac{1}{2}$
上式表明，点N在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}=1$上，且该椭圆的两个焦点恰好为（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），两点，
由椭圆定义有：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了“设而不求”的数学解题思想方法，圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．