题目内容

【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.

【答案】解:(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知 ,得
所以a=2,b2=a2﹣c2=1,故E的方程
(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2
将y=kx﹣2代入 ,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
当△=16(4k2﹣3)>0,即 时,
从而
又点O到直线PQ的距离 ,所以△OPQ的面积 =
,则t>0,
当且仅当t=2,k=± 等号成立,且满足△>0,
所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2)将y=kx﹣2代入 ,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.

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