题目内容
【题目】对于函数,若
,则称
为
的“不动点”;若
,则称
为
的“稳定点”.函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
,即
,
.
()设函数
,求集合
和
.
()求证:
.
()设函数
,且
,求证:
.
【答案】()
,
.
()证明见解析.
()证明见解析.
【解析】
()根据函数定义,求得不动点的表达式,根据方程即可求得集合A和集合B。
()讨论当集合A为
和不为空集两种情况下B集合的关系,即可证明集合A与集合B的关系。
()因为集合A为
,所以分类讨论
与
两种不同条件下B集合的情况,即可得到B集合也为
。
()由
,
得,
解得,
由,得
,
解得.
∴,
.
()若
,
则成立,
若,
设为
中任意一个元素,
则有,
∴,
故,
∴.
()由
,得方程
无实数解,
∴,
①当时,
的图象在
轴的上方,
所以任意,
恒成立,
即对于任意,
恒成立,
对于,则有
成立,
∴对于,
恒成立,
则.
②当时,
的图象在
轴的下方,
所以任意,
恒成立,
即对于,
恒成立,
对于实数,则有
成立,
所以对于任意,
恒成立,
则.
综上知,对于,
当时,
.
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