题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,若
,
时,有
成立.
(1)判断在
上的单调性,并证明;
(2)解不等式:;
(3)若对所有的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递增,证明见解析;(2)
;(3)
或
或
.
【解析】
试题分析:(1)由单调性和奇偶性的定义可得,可证
在
上单调递增;(2)由(1)得
,再由定义域解得
的取值范围;(3)由(1)可得
在
有最大值
,不等式转化为
对
恒成立,令
,分类讨论:
可得结论.
试题解析: (1)任取,且
,则
∵为奇函数,∴
由已知,又
,
∴,即
.
∴在
上单调递增.
(2)∵在
上单调递增.
∴,∴
故原不等式的解集为.
(3)∵,
在
上单调递增.
∴在上,
,
问题转化为,
即对
恒成立,
设,
①若,则
,对
恒成立,
②若,则
为
的一次函数,
若对
恒成立,
必须,且
,∴
或
综上,实数的取值范围是
或
或
.
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