题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,
,
分别是它的左、右焦点,且存在直线
,使
,
关于
的对称点恰好是圆
:
(
,
)的一条直径的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线
相交于
、
两点,射线
、
与椭圆
分别相交于
、
.试探究:是否存在数集
,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内?若存在,求出数集
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在数集
.
【解析】试题分析:(1)由圆的方程配方得半径为2,由题设知,椭圆的焦距
等于圆
的直径,所以
,又
,可得椭圆方程.
(2)由题可得直线是线段
的垂直平分线,由
方程与
,联立可得:
,
.又点
在以线段
为直径的圆内即
,
试题解析:(1)将圆的方程配方得:
,所以其圆心为
,半径为2,由题设知,椭圆的焦距
等于圆
的直径,所以
,
又,所以
,从而
,故椭圆
的方程为
.
(2)因为产于
的对称点恰好是圆
的一条直径的两个端点,所以直线
是线段
的垂直平分线(
是坐标原点),故
方程为
,与
,联立得:
,由其判别式
得
①.
设,
,则
,
,
从而,
.
因为的坐标为
,
所以,
,
注意到与
同向,
与
同向,所以
点在以线段
为直径的圆内
,所以
即
代入整理得②
当且仅当即
时,总存在
,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程
的两根均为正数,故使②成立的
,从而满足①.
故存在数集,当且仅当
时,总存在
使点
在以线段
为直径的圆内.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及点在以线段
为直径的圆内
,坐标化求解即可.
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