题目内容

11．已知an+1=2an+3（n∈N*），且a1=1，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求S20．

分析 （1）将递推公式化为：an+1+3=2（an+3），利用等比数列的定义判断出数列{an+3}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出an；
（2）由（1）求出的通项公式an，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出S20．

解答 解：（1）由题意得，an+1=2an+3，则an+1+3=2（an+3），
所以$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，
又a1=1，则a1+3=4，
所以数列{an+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，
所以an+3=4•2n-1=2n+1，则an=2n+1-3；
（2）由（1）得，S20=（22-3）+（23-3）+…+（221-3）
=22+23+…+221-3×20
=$\frac{4（1-{2}^{20}）}{1-2}$-60=222-64．

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及分组求和法、构造法的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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A．5n-4B．4n-3C．3n-2D．2n-1

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