题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>1)的左、右顶点分别为A、B,P是椭圆C上任一点,且点P位于第一象限.直线PA交y轴于点Q,直线PB交y轴于点R.当点Q坐标为(0,1)时,点R坐标为(0,2)
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证: 为定值;
(3)求证:过点R且与直线QB垂直的直线经过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】
(1)解:由题意可得A(﹣a,0),B(a,0),
当点Q坐标为(0,1)时,点R坐标为(0,2),
即有kPA= ,直线PA:y=
x+1,
kPB=﹣ ,直线PA:y=﹣
x+2,
解得交点P( ,
),
代入椭圆方程可得 +
=1,
解得a= ,
则椭圆C的标准方程为 =1
(2)证明:设Q(0,s),R(0,t),
由椭圆的方程可得A(﹣ ,0),B(
,0),
即有直线PA:y= x+s,直线PB的方程为y=﹣
x+t,
解得交点P( ,
),
代入椭圆方程可得 +
=1,
化简可得st=2,
即有 =st=2为定值;
(3)证明:由(2)可得st=2,即t= ,
直线QB的斜率为k=﹣ ,
即有过点R且与直线QB垂直的直线方程为y= x+t,
即为y= ,令x=﹣
,可得y=0,
则过点R且与直线QB垂直的直线经过定点,坐标为(﹣ ,0)
【解析】(1)求得A,B的坐标,直线PA,PB的方程,求交点P,代入椭圆方程,解方程,可得a,进而得到椭圆方程;(2)设Q(0,s),R(0,t),求得直线PA,PB的方程,求交点P,代入椭圆方程,化简整理可得st=2,再由向量的数量积的坐标表示可得定值;(3)求得QB的斜率,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得垂线的方程,由st=2,代入,结合直线恒过定点的求法,可得定点.
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