题目内容
【题目】已知函数(其中
,
为自然对数的底数,
…).
(1)若函数仅有一个极值点,求
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有两个零点
,
,且
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,转化不等式,再通过
与
的大小讨论即可求
的取值范围;(2)通过
的范围及
的零点个数,即可确定函数恒成立的条件,通过构造函数的方法,转化成利用导函数求恒成立问题.
试题解析:(1),
由得到
或
(*)
由于仅有一个极值点,
关于的方程(*)必无解,
①当时,(*)无解,符合题意,
②当时,由(*)得
,故由
得
,
由于这两种情况都有,当时,
,于是
为减函数,当
时,
,于是
为增函数,∴仅
为
的极值点,综上可得
的取值范围是
;
(2)由(1)当时,
为
的极小值点,
又∵对于
恒成立,
对于
恒成立,
对于
恒成立,
∴当时,
有一个零点
,当
时,
有另一个零点
,
即,
且,(#)
所以,
下面再证明,即证
,
由得
,
由于为减函数,
于是只需证明,
也就是证明,
,
借助(#)代换可得,
令,
则,
∵为
的减函数,且
,
∴在
恒成立,
于是为
的减函数,即
,
∴,这就证明了
,综上所述,
.
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练习册系列答案
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【题目】观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:
温度 | -5 | 0 | 6 | 8 | 12 | 15 | 20 |
生长速度 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求生长速度关于温度
的线性回归方程;(斜率和截距均保留为三位有效数字);
(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从至
时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是
时,预测这月大约能生长多少.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
.