题目内容
【题目】已知
为坐标原点，椭圆
： 
的左焦点是
，离心率为
，且
上任意一点
到
的最短距离为
.
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线
（不过原点）与
交于两点
、
， 
为线段
的中点.
（i）证明：直线
与
的斜率乘积为定值；
（ii）求
面积的最大值及此时
的斜率.
【答案】（1）
；（2）（i）见解析；（ii）
面积的最大值是
，此时
的斜率为
.
【解析】试题分析：（1）由题设可以得到关于
的方程组为
，从而
，故
，所以椭圆
的方程为
.（2）设直线
为： 
， 
， 
， 
，联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到
，利用韦达定理得到
，故
，从而
为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得
，令
，从而
，最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为
且此时
也就是
.
解析：（1）由题意得
，解得
，∴
， 
，∴椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
为： 
， 
， 
， 
，由题意得
，
∴
，∴
，即
，由韦达定理得： 
， 
，∴
， 
，∴
，∴
，∴直线
与
的斜率乘积为定值.
（ii）由（i）可知： 
，又点
到直线
的距离
，
∴
的面积
，令
，则
，∴
，当且仅当
时等号成立，此时
，且满足
，∴
面积的最大值是
，此时
的斜率为
.
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组数 | 分组 | 人数(单位：人) |
第一组 | [20,25) | 2 |
第二组 | [25,30) | a |
第三组 | [30,35) | 5 |
第四组 | [35,40) | 4 |
第五组 | [40,45) | 3 |
第六组 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；
(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．
