题目内容

【题目】已知椭圆的离心率是椭圆上的动点,且点到椭圆焦点的距离的最小值为1.

1)求椭圆的方程;

2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆两点,当时,求面积的最大值.

【答案】(1)(2).

【解析】

1)根据离心率以及椭圆定义,列出方程组,求解即可得到椭圆方程;

2)设出直线方程,联立椭圆,由韦达定理,结合,得到直线方程,从而将面积的最值问题转化为点到直线的距离的最值问题.

1)根据题意可得

故可解得,由

故椭圆方程为.

2)由(1)可知椭圆右焦点坐标为

当直线斜率不存在时,即,解得

满足

显然,当且仅当点为椭圆的左顶点时,此时面积取得最大值

.

当直线斜率存在时,设直线方程为:

联立椭圆方程

可得

因为

故可得

整理得

解得,此时直线方程为

又当点P在椭圆上,且过P点的切线与直线平行时,面积最大

故设该切线为

联立椭圆方程

可得

解得,或()

时可得

解得,即

由点P到直线的距离公式可得:

三角形的高

又因为

故当且仅当直线的斜率不存在时,面积取得最大值.

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