题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率
,
是椭圆
上的动点,且点
到椭圆
焦点的距离的最小值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点
的直线
交椭圆
于
,
两点,当
时,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据离心率以及椭圆定义,列出方程组,求解即可得到椭圆方程;
(2)设出直线方程,联立椭圆,由韦达定理,结合,得到直线方程,从而将面积的最值问题转化为点到直线的距离的最值问题.
(1)根据题意可得,
故可解得,由
,
故椭圆方程为.
(2)由(1)可知椭圆右焦点坐标为,
当直线斜率不存在时,即为
,解得
满足,
显然,当且仅当点为椭圆的左顶点时,此时
面积取得最大值
.
当直线斜率存在时,设直线方程为:
联立椭圆方程
可得
因为
故可得
整理得
解得,此时直线方程为
故
又当点P在椭圆上,且过P点的切线与直线平行时,面积最大
故设该切线为
联立椭圆方程
可得
令
解得,或
(舍)
当时可得
解得,
,即
由点P到直线的距离公式可得:
三角形的高,
故
又因为
故当且仅当直线的斜率不存在时,面积取得最大值
.

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