题目内容

3.在△ABC中,$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$,
(1)求角B的值;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求边长a、c的值.

分析 (1)由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB,可得B值;
(2)由正弦定理和已知可得c=2a,再由余弦定理可得a值,可得c值.

解答 解:(1)∵在△ABC中,$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$,
∴tanB+tanC=tanA($\sqrt{3}$tanC-1),
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC-(tanA+tanC)
=$\sqrt{3}$tanAtanC-tan(A+C)(1-tanAtanC),
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC+tanB(1-tanAtanC),
∴tanB-tanB(1-tanAtanC)=$\sqrt{3}$tanAtanC,
∴tanBtanAtanC=$\sqrt{3}$tanAtanC,
∴tanB=$\sqrt{3}$,∴B=$\frac{π}{3}$,
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得c=2a,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
代入数据可得$9={a^2}+4{a^2}-2a•2acos\frac{π}{3}$,
解得$a=\sqrt{3}$,∴$c=2a=2\sqrt{3}$.

点评 本题考查解三角形,涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用,属中档题.

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