题目内容
3.在△ABC中,$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$,(1)求角B的值;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求边长a、c的值.
分析 (1)由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB,可得B值;
(2)由正弦定理和已知可得c=2a,再由余弦定理可得a值,可得c值.
解答 解:(1)∵在△ABC中,$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$,
∴tanB+tanC=tanA($\sqrt{3}$tanC-1),
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC-(tanA+tanC)
=$\sqrt{3}$tanAtanC-tan(A+C)(1-tanAtanC),
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC+tanB(1-tanAtanC),
∴tanB-tanB(1-tanAtanC)=$\sqrt{3}$tanAtanC,
∴tanBtanAtanC=$\sqrt{3}$tanAtanC,
∴tanB=$\sqrt{3}$,∴B=$\frac{π}{3}$,
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得c=2a,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
代入数据可得$9={a^2}+4{a^2}-2a•2acos\frac{π}{3}$,
解得$a=\sqrt{3}$,∴$c=2a=2\sqrt{3}$.
点评 本题考查解三角形,涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用,属中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{8}{5}$ | B. | $\frac{5}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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(Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2列联表:
(Ⅱ)他发现在这组数据中,外国人邮箱名称里含数字的也不少,他不能断定国籍和邮箱名称里是否含有数字有无关系,你能帮他判断一下吗?
下面临界值表仅供参考:
(参考公式:${K}^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)
(Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2列联表:
有数字 | 无数字 | 合计 | |
中国人 | |||
外国人 | |||
合计 |
下面临界值表仅供参考:
P(K2=k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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