题目内容
【题目】
已知抛物线
的焦点为
，
为
上异于原点的任意一点，过点的直线
交于另一点
，交
轴的正半轴于点
，且有
.当点的横坐标为
时，
为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线
，且
和有且只有一个公共点
，
（ⅰ）证明直线
过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）
.（II）（ⅰ）直线AE过定点
.（ⅱ）
的面积的最小值为16.
【解析】
试题（I）由抛物线的定义知
，
解得
或
（舍去）.得
.抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设
，
可得
，即
，直线AB的斜率为
，
根据直线
和直线AB平行，可设直线的方程为
，
代入抛物线方程得
，
整理可得
，
直线AE恒过点.
注意当
时，直线AE的方程为
，过点，
得到结论：直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
得到
，
设直线AE的方程为
，
根据点
在直线AE上，
得到
，再设
，直线AB的方程为
，
可得
，
代入抛物线方程得
，
可求得
，
，
应用点B到直线AE的距离为
.
从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.
试题解析：（I）由题意知
设
，则FD的中点为
，
因为
，
由抛物线的定义知：，
解得或（舍去）.
由
，解得.
所以抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
因为，则
，
由
得，故，
故直线AB的斜率为，
因为直线和直线AB平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意
，得
.
设
，则
，
.
当
时，
，
可得直线AE的方程为
，
由
，
整理可得，
直线AE恒过点.
当时，直线AE的方程为，过点，
所以直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
所以，
设直线AE的方程为，
因为点在直线AE上，
故，
设，
直线AB的方程为，
由于
，
可得，
代入抛物线方程得，
所以
，
可求得，，
所以点B到直线AE的距离为
.
则的面积
，
当且仅当
即
时等号成立.
所以的面积的最小值为16.
