Question

【题目】如图，三棱锥中，平面平面，，且.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连接.根据，得 ，再由，根据线面垂直的判定定理得平面，则，再利用三线合一证明.

（2）由三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，再利用二面角的向量法公式求解.

（1）取的中点，连接.

，，

平面，

平面，

又OC平面，，

而是的中点，.

（2）平面平面，平面，

平面平面，

平面，

再由（1）可知三条直线两两垂直.

以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由条件可得，.

则，

，，.

设平面的一个法向量为，

由可得

，

令，则.

同理可得平面的一个法向量为，

则.

由图易知，二面角为锐角，

二面角的余弦值为.