Question

已知二次函数f(x)=x²+ax（）．
（1）若函数y=f(sinx+cosx)()的最大值为，求f(x)的最小值；
（2）当a>2时,求证：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

Answer 1

（1）；（2）见解析.

解析试题分析：（1）先求的值域，再讨论a的范围，根据最大值，求最小值；（2）利用导数先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根据二次函数求结论.
试题解析：(1)令，，        2分
，当a<0时，t=–2时，，
解得：
此时，．            2分
当时，t=2时，，解得：
此时，
综合上述，条件满足时，的最小值为             2分
(2)x∈R，且
又，故设，则有
设(其中t∈(0，1))           2分
             2分
令，得
当时，，所以在(0，)单调递减，
当时，，所以在(，1)单调递增，
时取最小值等于
即有          3分
当a>2时，的对称轴，
上单调递增，
         2分
考点：1、利用导数求函数的单调性；2、二次函数；3、导数与二次函数、三角函数的综合应用.