Question

已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.

(1)求证:f(x)在R上是减函数.

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

 

Answer 1

(1)见解析 (2) 最大值为2,最小值为-2

【解析】(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),

∴令x=y=0,得f(0)=0.

再令y=-x,得f(-x)=-f(x).

在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,

∴f(x1-x2)<0,

即f(x1)<f(x2).

因此f(x)在R上是减函数.

方法二:设x1>x2,

则f(x1)-f(x2)

=f(x1-x2+x2)-f(x2)

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(x1-x2).

又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,

∴f(x1-x2)<0,

即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在R上为减函数.

(2)∵f(x)在R上是减函数,

∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,

∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).

而f(3)=3f(1)=-2,f (-3)=-f(3)=2.

∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.