题目内容
8．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{2}$ |
分析 根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的定义可得到a1的值，再由AB=2c1，e=$\frac{c}{a}$可表示出e1，同样的在椭圆中用c2和a2表示出e2，然后利用换元法即可求出e1+e2的取值范围，即得结论•
解答 
解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由双曲线的定义可得a1=$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，c1=1，e1=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
由椭圆的定义可得a2=$\frac{\sqrt{1+4x}+1}{2}$，c2=x，e2=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
则e1+e2=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，
令t=$\sqrt{1+4x}-1$∈（0，$\sqrt{5}$-1），
则e1+e2=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）在（0，$\sqrt{5}$-1）上单调递减，
所以e1+e2＞$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$-1+$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$）=$\sqrt{5}$，
故选：B．
点评 本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
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3．已知等轴双曲线C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同的焦点，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | 2x2-2y2=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C． | x2-y2=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 |