Question

给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sin≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1，
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空；
③当x＞1时，有lnx+

1

lnx

≥2
④设有五个函数.y=x，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2x，其中既是偶函数又在（0，+∞） 上是增函数的有2个．
其中真命题的序号是

③

．

Answer 1

分析：根据全称命题的否定是特称命题，是条件不变，否定结论，来判断①是否正确；
举例判断②是否正确；
利用基本不等式求最值，来验证③是否正确；
根据幂函数与二次函数的性质判断④是否正确．

解答：解：对①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①为假命题；
对②，当a=1时，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集为空集，故②为假命题；
对③，∵x＞1，∴lnx＞0，∴lnx+

1

lnx

≥2，当 lnx=1即x=10时取等号，故③是真命题；
对④，y=x；y=x

1

2

；y=x³；y=2^x都不是偶函数，只有y=x²既是偶函数又在（0，+∞） 上是增函数，故④是假命题．
故答案是③．

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查了全称命题的否定、绝对值不等式、幂函数与指数函数的性质．利用基本不等式求最值时，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．