题目内容
(2012•许昌三模)如图,在四面体ABCD中,二面角A-CD-B的平面角为60°,AC⊥CD,BD⊥CD,且AC=CD=2BD,点E、F分别是AD、BC的中点.
(Ⅰ)求作平面α,使EF?α,且AC∥平面α,BD∥平面α;
(Ⅱ)求证:EF⊥平面BCD.
(Ⅰ)求作平面α,使EF?α,且AC∥平面α,BD∥平面α;
(Ⅱ)求证:EF⊥平面BCD.
分析:(Ⅰ)取DC的中点G,连接EG,FG,则平面EFG即所做平面α,利用三角形的中位线证明AC∥EG,BD∥FG,即可证得AC∥平面α,BD∥平面α;
(Ⅱ)证明CD⊥平面EFG,可得∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,在△EGF中,由余弦定理得EF=
FG,从而可得∠EFG=90°,进而可知EF⊥平面BCD.
(Ⅱ)证明CD⊥平面EFG,可得∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,在△EGF中,由余弦定理得EF=
3 |
解答:证明:(Ⅰ)取DC的中点G,连接EG,FG,则平面EFG即所做平面α
∵点E、F分别是AD、BC的中点,
∴EG,FG分别为△ACD,△BCD的中位线,
∴AC∥EG,BD∥FG
∵AC?平面α,BD?平面α,EG?平面α,FG?平面α
∴AC∥平面α,BD∥平面α.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC∥EG,BD∥FG,
∵AC⊥CD,BD⊥CD
∴EG⊥CD,FG⊥CD.
∵EG∩FG=G.
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,∠EGF=60°.
在△EGF中,EG=2FG,∠EGF=60°,由余弦定理得EF=
FG,
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G,GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD.
∵点E、F分别是AD、BC的中点,
∴EG,FG分别为△ACD,△BCD的中位线,
∴AC∥EG,BD∥FG
∵AC?平面α,BD?平面α,EG?平面α,FG?平面α
∴AC∥平面α,BD∥平面α.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC∥EG,BD∥FG,
∵AC⊥CD,BD⊥CD
∴EG⊥CD,FG⊥CD.
∵EG∩FG=G.
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,∠EGF=60°.
在△EGF中,EG=2FG,∠EGF=60°,由余弦定理得EF=
3 |
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G,GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD.
点评:本题考查线面平行,考查线面垂直,解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定方法,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目