题目内容
(2012•许昌三模)已知函数f(x)=ex,若函数g(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,则称g(x)为函数f(x)的下界函数.
(Ⅰ)若函数g(x)-kx是f(x)的下界函数,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)证明:对于?m≤2,,函数h(x)=m+lnx都是f(x)的下界函数.
(Ⅰ)若函数g(x)-kx是f(x)的下界函数,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)证明:对于?m≤2,,函数h(x)=m+lnx都是f(x)的下界函数.
分析:(Ⅰ)若函数g(x)=kx是f(x)的下界函数,则k<0不成立而k=0必然成立;当k>0时,若g(x)=kx是f(x)的下界函数,则f(x)≥g(x)恒成立,即ex-kx≥0恒成立.构造函数h(x)=ex-kx,求得h(x)min≥0,即可求得实数k的取值范围;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数G(x)=ex是f(x)=ex的下界函数,证明h(x)=m+lnx是G(x)=ex的下界函数,即可得到结论.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数G(x)=ex是f(x)=ex的下界函数,证明h(x)=m+lnx是G(x)=ex的下界函数,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)解:若函数g(x)=kx是f(x)的下界函数,则k<0不成立而k=0必然成立.----(2分)
当k>0时,若g(x)=kx是f(x)的下界函数,则f(x)≥g(x)恒成立,即ex-kx≥0恒成立.
令h(x)=ex-kx,则h′(x)=ex-k.
令h′(x)<0,则x<lnk,h′(x)>0,则x>lnk,
∴函数h(x)在(-∞,lnk)单调递减,(lnk,+∞)上单调递增.----(4分)
由h(x)≥0得h(x)min=h(lnk)=k-klnk≥0,解得0<k≤e.
综上:0≤k≤e.----(6分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知函数G(x)=ex是f(x)=ex的下界函数.即f(x)≥G(x)恒成立----(8分)
若m≤2,构造函数F(x)=ex-lnx-m(x>0),则F′(x)=
令F′(x)<0,则x<
,F′(x)>0,则x>
,
∴函数h(x)在(-∞,
)单调递减,(
,+∞)上单调递增.
∴F(x)min=F(
)=2-m≥0----(10分)
即h(x)=m+lnx是G(x)=ex的下界函数,即G(x)≥h(x)恒成立.
所以,f(x)≥G(x)≥h(x)恒成立,即h(x)=m+lnx是f(x)=ex的下界函数.----(12分)
当k>0时,若g(x)=kx是f(x)的下界函数,则f(x)≥g(x)恒成立,即ex-kx≥0恒成立.
令h(x)=ex-kx,则h′(x)=ex-k.
令h′(x)<0,则x<lnk,h′(x)>0,则x>lnk,
∴函数h(x)在(-∞,lnk)单调递减,(lnk,+∞)上单调递增.----(4分)
由h(x)≥0得h(x)min=h(lnk)=k-klnk≥0,解得0<k≤e.
综上:0≤k≤e.----(6分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知函数G(x)=ex是f(x)=ex的下界函数.即f(x)≥G(x)恒成立----(8分)
若m≤2,构造函数F(x)=ex-lnx-m(x>0),则F′(x)=
ex-1 |
x |
令F′(x)<0,则x<
1 |
e |
1 |
e |
∴函数h(x)在(-∞,
1 |
e |
1 |
e |
∴F(x)min=F(
1 |
e |
即h(x)=m+lnx是G(x)=ex的下界函数,即G(x)≥h(x)恒成立.
所以,f(x)≥G(x)≥h(x)恒成立,即h(x)=m+lnx是f(x)=ex的下界函数.----(12分)
点评:本题考查利用函数的导函数求函数的最值,考查函数的单调性,考查新定义,属于中档题.
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