Question

【题目】已知圆过点，且圆心在直线上，过点的直线交圆于两点，过点分别做圆的切线，记为.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.

【解析】

（Ⅰ）设圆的方程为

弦的中点，又 ，故的垂直平分线的方程

因为圆心是的垂直平分线与直线的交点，由，得，即圆心

又半径，即可得到圆的方程；

（Ⅱ）设，直线的交点

若为直线上任意一点，则,得

∴，即处的圆的切线方程

同理可得，在点处的圆的切线方程为

由直线过点可推出点满足方程

即直线的方程为 ，

又直线过点即

由此可得到直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.

（Ⅰ）设圆的方程为

弦的中点

又

∴的垂直平分线的方程：

即

圆心是的垂直平分线与直线的交点

∴由，得，即圆心

又半径

∴圆的方程为

（Ⅱ）设，直线的交点

若为直线上任意一点，则

,得，

∵

∴，即处的圆的切线方程

同理可得，在点处的圆的切线方程为

由直线过点

∴,,

∴点满足方程

即直线的方程为 ，

又直线过点

∴，即

∴直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.