Question

（本小题满分14分）

如图，四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.

（1）求证：平面SBC⊥平面SAB；

（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足.（）

①求证：对于任意的，恒有SC∥平面AEF；

②是否存在，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵平面∴∴∴平面∴平面平面（2）①∴SC∥平面AEF②

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵平面，

∴     ……………1分

∵底面为直角梯形，，，

∴    ……………2分

∵

∴平面     …………3分

∵平面

∴平面平面 …………4分

（Ⅱ）（ⅰ）∵，∴………5分

∵平面，  平面，………6分

∴对于任意的，恒有SC∥平面AEF………7分

（ⅱ）存在，使得为直角三角形. ………8分

若，即

由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴ ，

∵，

∴，

∴，

在中，，，

，，

.    ………10分

②若，即由①知，，

平面，∴平面，

又因平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，

∴.  ………12分

③若，即由（ⅰ）知，，∴

又∵平面，平面，

∴ ，∴平面

∴这与相矛盾，故

综上，当且仅当，使得为直角三角形. ……… 14分

考点：线面垂直平行的判定

点评：第二小题②采用空间向量求解比较简单