Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 数列{bn}，{cn}满足 （n+1）bn=an+1﹣ ，（n+2）cn= ﹣ ，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn ， 求证：数列{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1）， =a1+n﹣1．

∴（n+2）cn= ﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1

（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣ ，

可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，

相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，

可得：（n+2）cn= ﹣ = ﹣[an+1﹣（n+1）bn]

= +（n+1）bn= +（n+1）bn= （bn+bn﹣1），

因此cn= （bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，

∴λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．

∴（n+1）λ=an+1﹣ ，（n+2）λ= （an+1+an+2）﹣ ，

相减可得： （an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．

又2λ= =a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列

【解析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1）， =a1+n﹣1．代入（n+2）cn= ﹣ 即可得出cn ． （2）由（n+1）bn=an+1﹣ ，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn ， （n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1 ， 相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn ， 代入化简可得cn= （bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn ， λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．