题目内容
【题目】已知函数y＝f1（x），y＝f2（x），定义函数f（x）
．
（1）设函数f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据函数f（x）
的定义，两个函数中取小的.
（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，因为函数
是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.
（3）根据题意F（x）
．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.
（1）∵f1（x）＝x+3，
，
当f1（x）≤f2（x），即x≥3或x≤﹣1时，f（x）＝x+3，
当f1（x）＞f2（x），即﹣1＜x＜3时，
，
综上：
．
（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，
即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，
因为函数，函数g（x）＝mx+2（m∈R），
所以当x≤﹣1或x≥3时，mx+2＝x+3恰有一个实数解，
所以
或
，
解得，
．
当﹣1＜x＜3时，mx+2＝x2﹣x恰有两个不同的实数解，
即当﹣1＜x＜3时x2﹣（m+1）x﹣2=0恰有两个不同的实数解，
设函数h（x）＝x2﹣（m+1）x﹣2，
由题意可得
，
所以
，
解得
，
综上，m的取值范围为．
（3）F（x）＝f1（x）+f2（x）＝x2+|x﹣a|﹣2
．
①若a
，则函数F（x）在
上是单调减函数，在
上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为
；
②若
，则函数F（x）在（﹣∞，a）上是单调减函数，在（a，+∞）上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为F（a）＝a2﹣2；
③若
，则函数F（x）在
上是单调减函数，在
上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为
；
综上：
．
