题目内容
【题目】已知函数y=f1(x),y=f2(x),定义函数f(x).
(1)设函数f1(x)=x+3,f2(x)=x2﹣x,求函数y=f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,g(x)=mx+2(m∈R),函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,求实数m的取值范围;
(3)设函数f1(x)=x2﹣2,f2(x)=|x﹣a|,函数F(x)=f1(x)+f2(x),求函数F(x)的最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据函数f(x)的定义,两个函数中取小的.
(2)函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根,因为函数 是分段函数,分类讨论,分别用一次方程和二次方程求解.
(3)根据题意F(x).按照二次函数函数定区间动的类型,讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.
(1)∵f1(x)=x+3,,
当f1(x)≤f2(x),即x≥3或x≤﹣1时,f(x)=x+3,
当f1(x)>f2(x),即﹣1<x<3时,,
综上:.
(2)函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,
即方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根,
因为函数,函数g(x)=mx+2(m∈R),
所以当x≤﹣1或x≥3时,mx+2=x+3恰有一个实数解,
所以或
,
解得,.
当﹣1<x<3时,mx+2=x2﹣x恰有两个不同的实数解,
即当﹣1<x<3时x2﹣(m+1)x﹣2=0恰有两个不同的实数解,
设函数h(x)=x2﹣(m+1)x﹣2,
由题意可得,
所以,
解得,
综上,m的取值范围为.
(3)F(x)=f1(x)+f2(x)=x2+|x﹣a|﹣2.
①若a,则函数F(x)在
上是单调减函数,在
上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为;
②若,则函数F(x)在(﹣∞,a)上是单调减函数,在(a,+∞)上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为F(a)=a2﹣2;
③若,则函数F(x)在
上是单调减函数,在
上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为;
综上:.
