题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点为
,坐标原点为
.椭圆
的动弦
过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为
,过且垂直于线段的直线交射线
于点
.
(I)求点的横坐标;
(II)当
最大时，求
的面积.
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)
.
【解析】分析：(I) 设
所在直线为
先求出
所在直线方程为
，再求出直线FM方程为
，联立两方程即可求出点M的坐标. (II)先利用向量的夹角公式求出
，再利用基本不等式求出的最小值，即得
最大值和k的值，再利用面积公式求
的面积.
详解：(Ⅰ) 易知
，设所在直线为
联立方程组
，化简得
由韦达定理得
则
，从而所在直线方程为
又
所在直线方程为，联立两直线方程解得
(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）得
，则
则
（当且仅当
时取等号）
当取得最小值时，最大，此时
从而
.
解法二: 由(Ⅰ)得，设直线
与
轴的交点为点
则
则
(当且仅当时取等号）
当
取得最大值时，最大，此时
从而.
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