Question

2．根据下列条件，求数列通项公式a_n．
（1）a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n；
（2）a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$；
（3）a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用累积法能求出数列通项公式a_n．
（2）由已知条件利用加法能求出数列通项公式a_n．
（3）由已知条件得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，由此能求出数列通项公式a_n．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×2×2²×…×2^n-1
=2^{0+1+2+…+（n-1）}
=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∴${a}_{n}={2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
（2）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．
（3）∵a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，又$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累积法、累加法和构造法的合理运用．