Question

【题目】若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y=x无交点，现有下列结论：
①若a=1，b=2，则c＞
②若a+b+c=0，则不等式f（x）＞x对一切实数x都成立
③函数g（x）=ax2﹣bx+c的图象与直线y=﹣x也一定没有交点
④若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定没有实数根
其中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）

Answer 1

【答案】①③④⑤
【解析】（1）f（x）=x2+2x+c，
令f（x）=x=x2+2x+c，
整理得x2﹣x+c=0，要使函数f（x）的图象与直线y=x无交点，
需△=1﹣4c＜0，即c＞ ， 故①正确．
（2）依题意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函数f（x）=ax2+bx+c有一个零点（1，0），
∴若a+b+c=0，则不等式f（x）＞x不是对一切实数x都成立，
故②错误．
（3）联立二次函数和直线方程整理得ax2+（b﹣1）x+c=0，图象无交点，
∴△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
联立 ，
消去y得ax2+bx+c=0，△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
∴函数g（x）=ax2﹣bx+c的图象与直线y=﹣x也一定没有交点，
故③正确．
（4）因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以当a＞0时，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④结论正确．
（5）因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；
故⑤结论正确．
所以答案是：①③④⑤．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．