Question

14．已知函数f（x）=ke^x-$\frac{1}{2}$x²（k∈R）．
（1）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值；
（2）设k＜0，求函数g（x）=f′（x）+e^2x+x在区间（-∞，ln 2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设切点为（m，0），求得切线的斜率，解方程可得k的值；
（2）求得g（x）=ke^x+e^2x，令t=e^x（0＜t≤2），即有y=g（x）=t²+kt，对称轴为t=-$\frac{k}{2}$＞0，讨论区间（0，2]与对称轴的关系，结合单调性可得最小值．

解答 解：（1）f（x）=ke^x-$\frac{1}{2}$x²的导数为f′（x）=ke^x-x，
设切点为（m，0），即有ke^m-m=0，ke^m-$\frac{1}{2}$m²=0，
解方程可得m=0，k=0，或m=2，k=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
则k=0或$\frac{2}{{e}^{2}}$；
（2）函数g（x）=f′（x）+e^2x+x=ke^x+e^2x，
令t=e^x（0＜t≤2），即有y=g（x）=t²+kt，
对称轴为t=-$\frac{k}{2}$＞0，
当0＜-$\frac{k}{2}$≤2，即-4≤k＜0时，函数的最小值为（-$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{2}$=-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
当-$\frac{k}{2}$＞2，即k＜-4时，函数在（0，2]递减，最小值为4+2k．
综上可得，在-4≤k＜0时，g（x）的最小值为-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
k＜-4时，函数g（x）的最小值为4+2k．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查可化为二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．